Introdução
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais (nk), onde “n” representa o número da linha (posição vertical) e “k” representa o número da coluna (posição horizontal), iniciando a contagem a partir do zero.
A primeira utilização deste triângulo por parte de Pascal deve-se ao jogo (bem como os princípios da área da matemática hoje conhecida por probabilidade), tendo o autor concebido este triângulo como parte da resposta ao problema: “Como deve ser repartido o prémio entre dois jogadores que são forçados a parar o jogo antes de o terminar?”
Existem, porém, evidências de que esta não foi a primeira vez em que alguém utilizou este triângulo (ou, pelo menos, esta exacta versão dele), existindo registos de usos de triângulos semelhantes a este, por exemplo, por Yang Hui (matemático chinês do séc. XIII) e alguns matemáticos árabes do séc XI.
Após Pascal, vários célebres matemáticos recorreram a este triângulo, como Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716) ou Wallis (1616-1703).
Triângulo de pascal até à linha N
Propriedades do triângulo:
Propriedades
Podem encontrar-se várias relações entre os números deste triângulo, devido à forma como estão organizados. Eis algumas:
1- O somatório de todos os números da linha n é igual a 2^n:
Ex:
1 = 2^0
1 + 1 = 2^1
1 + 2 + 1 = 2^2
…
2- Nas 2as diagonais encontram-se os números naturais (1, 2, 3, 4, …)
3- Nas linhas em que o segundo número é primo, todos os números dessa linha (excepto os 1) são divisíveis por esse mesmo número:
Ex:
Linha 6: 1 5 10 10 5 1 ; 5 e 10 são divisíveis por 5;
Linha 8: 1 7 21 35 35 21 7 1 ; 7, 21 e 35 são divisíveis por 7.
4- Se somarmos quaisquer dois números consecutivos da 3ª diagonal obtemos sempre um quadrado perfeito
Ex:
1 + 3 = 4 (2^2)
3 + 6 = 9 (3^2)
…
5- Se escolhermos uma diagonal n e somarmos os seus primeiros n elementos, obtemos sempre o n+1-ésimo elemento dessa diagonal:
Ex:
Na 3ª diagonal: 1 + 3 + 6 = 10
Na 4ª diagonal: 1 + 4 + 10 + 20 = 35
…
6- O triângulo é simétrico, propriedade essa que pode ser exprimida matematicamente por:
nCp= nCn-p
7- Qualquer número do triângulo pode ser obtido somando 1 ao somatório de todos os números acima das diagonais que partem desse número:
Ex:
Usemos o 15 marcado com a circunferência verde como exemplo. As duas diagonais que partem deste número para cima estão marcadas com linhas vermelhas. Se somarmos 1 ao somatório dos números acima destas diagonais (marcados com o círculo azul) obtemos o número inicial:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + (1) = 15
8- Propriedade “Hockey Stick”:
Ex: 
Qualquer número no triângulo de Pascal pode ser obtido da maneira ilustrada na figura, formando um padrão semelhante a
um taco de hockey (1 + 4 + 10 = 15 e
1 + 5 + 15 = 21).
Nota: para este método funcionar, é necessário partir de um 1 do triângulo.
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